有限元可靠度分析中随机场离散方法

有限元可靠度分析中随机场离散方法

林道锦, 　秦　权(清华大学土木工程系, 北京100084)

摘　要: 用随机场模型描述随机结构参数的空间变异特征,讨论了可靠度随机有限元分析中随机场的离散方法。提出了选择随机场离散方案的4 个基本要求; 利用线性回归理论建立基于优化的随机场离散方法。该文采用的离散方法独立于有限元的单元离散过程, 并适用于非正态随机场。分析表明: 线性回归理论建立的随机场离散方案比其他方法有更大的灵活性和更高的效率。

关键词: 可靠度; 随机有限元; 随机场; 线形回归理论

中图分类号: TB 114; TU 312 文献标识码: A

Key words: structural reliability; stochastic finite element; random field; linear regression theory

随机结构理论是研究结构模型不确定因素的概率方法, 结构可靠度研究及结构反应变异分析都属于这个范畴。随机有限元理论在结构建模时保留了结构参数和外部作用的随机信息, 而将可靠度分析计算建立在有限元模型的基础上, 为可靠度理论的工程应用开拓了广阔的市场。
大多数随机有限元分析中, 首先需要将连续随机场用随机变量向量来表示, 这个过程即所谓的随机场离散。在过去的研究过程中已经提出了各种随机场离散方法[ 1 ] , 他们包括: 中点法; 局部平均法;

形函数法; 级数展开法; 加权积分法等, 而其中任一种离散方法对其他方法都没有绝对的优势, 随机
场离散方法的最终选择必须在精度与效率之间找到一个均衡点。将优化的思想引入随机场离散过程, 是近几年的研究趋势, 用最优形函数法随机场离散便是对形函数法进行优化的结果。线性回归理论属于随机变量最优估计问题, 将这一思想用于随机场离散可得到比最优形函数法更普遍的结果, 本文证明了他们之间的一致性, 并在此基础上得到可处理非正态随机场、且与有限元离散过程独立进行的随机场离散方案。
1　随机场离散
1. 1　随机场离散基本要求
随机场离散方法的选择应考虑以下4 个因素:
1) 是否便于在有限元程序中实现。随机有限元程序的开发应尽量利用现有比较成熟的有限元标准程序, 这样就要求离散后的结构随机参数表达式不宜太复杂;
2) 在满足离散精度情况下, 随机变量个数应尽量少。随机分析有比确定性结构分析大的多得计算工作量, 因此在同样精度下, 随机变量少的离散方法应优先选择, 这就是随机场的效率;
3) 是否有处理非高斯随机场的能力。结构参数具有非负性, 正态分布假定在结构变异性较大时会出现结构参数为负值的不合理结果。此外, 多数荷载和抗力的分布都是非正态的;
4) 随机场的离散精度主要受随机场的相关长度控制, 这与确定有限元分析的单元离散的原则有明显区别, 因此需要建立一种独立于有限元离散过程的随机场离散方案。
以上4 点要求可作为评价随机场离散方法是否可行的标准。本文采用方法的基本思路是: 利用D it levsen 提出的线性回归理论[ 2 ] , 以随机场空间中的指定位置的随机变量来对其他位置的随机量进行
最小方差估计, 经分析发现该方法完全可以满足以上几点对随机场离散方法的要求。
1. 2　线性回归方法
1. 3　随机结构控制方程
1. 4　讨　论

2　有限元可靠度分析
2. 1　可靠度算法
2. 2　梯度分析
3　算例分析

4　小　结
随机有限元技术将可靠度基本理论与有限元分析结合起来, 可用于处理复杂随机结构系统以及结构参数的空间变异性影响。随机场模型用于描述结构参数和荷载的空间变异性。随机场离散不仅要考虑精度, 还考虑效率、非正态适应性等。算例结果表明: 利用线性回归理论发展的离散方案可满足上述要求。